Виды степенных средних величин и методы их расчета

13-9690604

где х — среднее значение; k — показатель степени среднего; x, — отдельные значения (варианты) функции, i = 1, 2, n;f — частота; п = / /? — количество единиц (объем) населения.

Среднее считается простым, если отдельные значения признака х встречаются один или одинаковое количество раз; взвешенный — разное количество раз. При этом частота/повторяемость отдельных значений функции (веса) присутствует в формулах расчета средневзвешенных значений.

В зависимости от значений экспоненциального среднего k различают несколько видов степенных средних. Формулы для расчета средних мощностей приведены в таблице. 5.1.

Эти формулы могут быть получены из соответствующих формул простых и взвешенных экспоненциальных средних для значений k = -1; 0; один; 2; 3. Например, выведем формулы для средней гармоники простой и взвешенной при k = -1.

14-2369630

где Wj = x, / — статистический вес.

15-2449045
16-3142902

Аналогичным образом можно вывести остальные формулы для средних значений. При выводе среднего геометрического требуется знание теории пределов.

При вычислении средних значений для одних и тех же данных получаются разные результаты. В этом случае действует правило большинства средних: с увеличением показателя средней k растет и соответствующее среднее значение, т.е.

x,.ar переменного свойства

Численность населения

Среднее арифметическое

Наиболее распространенным типом среднего является среднее арифметическое. Широко используется в плановых расчетах, при выявлении связей между функциями с помощью группировок. Следует отметить, что если тип среднего значения не указан, предполагается среднее арифметическое.

Под средним арифметическим понимается значение признака, которым обладала бы каждая единица совокупности, если бы сумма всех значений признака была равномерно распределена между всеми единицами совокупности.

11 Пример 5.1. Рассчитайте средний стаж работы пяти сотрудников в компании: 7, 5, 3. 2,4 (лет).

Решение. Варианты x не повторяются, значит, используется простая формула среднего арифметического:

Пример 5.2. Рассчитайте средний стаж работы 20 сотрудников в компании: 7, 7, 5, 3, 3, 2, 4, 5, 6. 2, 2, 3, 5, 6,4, 7, 5, 3, 2, 3 (годы).

Решение. Варианты x-, повторяются с разной частотой f, поэтому используется формула взвешенного среднего арифметического:

24-9423584
25-4337651

2-4 + 3-5 + 4-2 + 5-4 + 6-2 + 7-3 84

В интервальном вариационном ряду они идут к серединам соответствующих интервалов. Размер открытых интервалов (первого и последнего) приравнивается к размеру соседних (второго и предпоследнего) интервалов.

С помощью средних значений обобщаются не только абсолютные, но и относительные значения переменного признака. Тогда в качестве частоты со, (в процентах или долях единицы) используется вес, т е отношение частоты повторения отдельного значения функции к сумме частот: со, =

26-6440445

— доля каждой группы в общем количестве единиц со

Тогда формула средневзвешенного арифметического будет иметь вид

Статистика. Средние величины

Если частоты выражены в дробях (коэффициентах), то ?со,=1. В результате формула среднего арифметического упрощается: х = ? х, (О,.

Свойства среднего арифметического

Среднее арифметическое обладает рядом математических свойств, которые более полно раскрывают сущность и в ряде случаев используются для упрощения расчетов.

В статистическом анализе используются следующие свойства среднего арифметического.

  • 1. Сумма отклонений отдельных значений признака х от среднего арифметического х равна нулю:
    • (х, -х) = 0 (если частоты равны единице);

    V(x, —x)/ =0 (если частоты разные).

    Поэтому среднее можно назвать центром распределения данных: значения ниже и выше среднего значения взаимно уравновешиваются.

    2. Произведение средней суммы частот всегда равно сумме произведений альтернатив х на частотах/:

    3. Если к каждому значению знака x прибавить (вычесть) любое произвольное число A, то новое среднее соответственно увеличится (уменьшится) на такое же число A:

    Eu±l>l

    Съел

    4. Если каждое значение знака х умножить (поделить) на любое число А, то новое среднее соответственно увеличится (уменьшится) в такое же число раз:

    ЕА,l>l

    Съел

    Эфл

    Съел

    5. Если все частоты (веса) / разделить (умножить) на одно и то же число А, то среднее значение не изменится:

    & . — См. ~ Великобритания ~ Yf. ОДИН

    • 6. Сумма квадратов отклонений значений признака х от среднего значения х меньше суммы квадратов отклонений от любого произвольного значения А:
      • ?(х, -х) 22 ;

      7. Среднее арифметическое суммы (разности) признаков равно сумме (разнице) их средних арифметических.

      Метод моментов

      Для вычисления среднего арифметического для интервального ряда с равными интервалами используется метод моментов (раздел 6.4).

      Свойства среднего арифметического позволяют во многих случаях упростить расчеты на основе следующего алгоритма.

      • 1. Из всех значений атрибута вычесть произвольное постоянное значение (А).
      • 2. Уменьшить разницу на общий множитель (L).
      • 3. Рассчитать момент первого порядка (/I|) по формуле

      4. Формула средневзвешенной арифметической будет иметь следующий вид:

      Этот метод вычисления среднего называется методом моментов (методом отсчета от условного нуля). Здесь pc — величина момента первого порядка; h — значение интервала; А — центральный вариант серии (условно нулевой).

      В качестве произвольной постоянной величины (А) обычно выбирают один из центральных вариантов ряда:

      X + X d _ мм макс

      При нечетном числе интервалов в качестве общего множителя (/?) принимается общий наибольший делитель, равный значению интервала. Для четного числа интервалов общий множитель (А) равен половине значения интервала.

      Среднее гармонически взвешенное значение

      Гармонически взвешенное среднее принципиально не отличается от среднего арифметического, но является его обратным. Применяется, когда изучаемые показатели взаимны, т е связаны между собой как

      чи — (например, затраты времени на единицу продукции и ду-Х

      производства в единицу времени).

      Средневзвешенное гармоническое используется, когда статистическая информация не содержит частот отдельных альтернатив генеральной совокупности, а представлена ​​в виде их произведения W = x

      Пример 5.3. Рассчитайте среднюю стоимость поездки по трем направлениям на основании данных, представленных в таблице. 5.2.